Die Grundlagen der Arithmetik

Inhaltsverzeichnis


1 In der Mathematik ist in neuererZeitein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar

2 Die Prüfung muß sich schließlich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises

3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, a priori oder a posteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke

4 Die Aufgabe dieses Buches

I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze
Sind die Zahlformeln beweisbar?

5 Kant verneint dies, was Hanke! mit Recht paradoxnennt

6 Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Graßmanns Definition von a + b ist fehlerhaft

7 Mills Meinung, daß die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Tatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet

8 Zur Rechtmäßigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Tatsachen nicht erforderlich

Sind die Gesetze der Arithmetik induktive Wahrheiten?

9 Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen

10 Gründe dagegen, daß die Additionsgesetze induktive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induktion ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen

11 Leibnizens »Eingeboren«.

Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?

12 Kant. Baumann. Lipschitz. Hanke!. Die innere Anschauung als Erkenntnisgrund

13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie

14 Vergleichung der Wahrheiten in bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet

15 Ansichten von Leibniz und St. Jevons

16 Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache«Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten

17 Unzulänglichkeit der Induktion. Vermutung, daß die Zahlgesetze analytische Urteile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Wertschätzung der analytischen Urteile

II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl

18 Notwendigkeit, den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen

19 Die Definition darf nicht geometrisch sein

20 Ist die Zahl definierbar? Hankel. Leibniz

Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern Dinge?

21 Meinungen von M. Cantorund E. Sehröder

22 Dagegen Baumann: die äußern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab

23 Mills Meinung, daß die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar

24 Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden

25 Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen

Ist die Zahl etwas Subjektives?

26 Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung paßt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objektives

27 Die Zahl ist nicht, wie Schlömilch will, Vorstellung der Stelle eines Objekts in einer Reihe

Die Anzahl als Menge

28 Thomaes Namengebung

III. Meinungen über Einheit und Eins
Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?

29 Vieldeutigkeit der Ausdrücke und »Einheitv. E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjektiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Prädikat dienen

30 Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen

31 Baumanns Merkmale der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objekte zugeführt (Locke)

32 Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird

33 Die Unteilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar

Sind die Einheiten einander gleich?

34 Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit«. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraktion von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich

35 Die Verschiedenheit ist sogar notwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons

36 Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stößt auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons

37 Lackes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins

38 »Eins«ist Eigenname, »Einheit«Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definiert werden. Unterschied von »und<< und+

39 Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von »Einheit« verdeckt Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden

40 Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons

41 Der Zweck wird nicht erreicht

42 Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens. Hankels Setzen

43 Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1

44 Jevons' Abstrahieren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen

Lösung der Schwierigkeit

45 Rückblick

46 Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, daß bei unverändertem Begriffe die Zahl sich ändere

47 Die Tatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objektivität des Begriffes

48 Auflösung einiger Schwierigkeiten

49 Bestätigung bei Spinoza

50 E. Schröders Ausführung

51 Berichtigung derselben

52 Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche

53 Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl

54 Einheit kann man das Subjekt einer Zahlangabe nennen. Unteilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit

IV. Der Begriff der Anzahl
Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand

55 Versuch, die Leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen .

56 Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Teil ist

57 Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen

58 Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar

59 Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschließen, weil er unvorstellbar ist

60 Selbst konkrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muß die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt .

61 Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objektive Gegenstand ist räumlich

Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muß man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen

62 Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit

63 Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, daß die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird .

64 Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks

65 Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird

66 Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend

67 Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, daß man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist .

68 Die Anzahl als Umfang eines Begriffes

69 Erläuterung

Ergänzung und Bewährung unserer Definition

70 Der Beziehungsbegriff

71 Die Zuordnung durch eine Beziehung

72 Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl

73 Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung gibt, welche die unter F fallenden Gegenstände den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet

74 Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich«zukommt

75 Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist

76 Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der natürlichenZahlenreihe unmittelbar auf m«

77 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0«zukommt

78 Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisensind.

79 Definition des Folgens in einer Reihe

80 Bemerkungen hierzu. Objektivität des Folgens

81 Erklärung des Ausdrucks »X gehört der mit y endenden cp-Reihe an"

82 Andeutung des Beweises, daß es kein letztes Glied der natürlichen Zahlenreihe gibt

83 Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber

Unendliche Anzahlen

84 Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl « zukommt, ist eine unendliche

85 Die Cantarsehen unendlichen Anzahlen; »Mächtigkeit«. Abweichung in der Benennung

86 Cantars Folgen in der Sukzession und mein Folgen in der Reihe

V. Schluß

87 Die Natur der arithmetischen Gesetze

88 Kants Unterschätzung der analytischen Urteile

89 Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden«Kants Verdienst um die Mathematik

90 Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlußkette

91 Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich

Andere Zahlen

92 Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hanke!

93 Die Zahlen sind weder räumlich außer uns noch subjektiv

94 Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verInhalt bürgt nicht, daß etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des Beweises

95 Man darf nicht ohne weiteres ( c-b) als ein Zeichen ansehn, das die Subtraktionsaufgabe löst

96 Auch der Mathematiker kann nicht willkürlich etwas schaffen

97 Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden.

98 Hankels Erklärung der Addition

99 Mangelhaftigkeit der formalen Theorie

100 Versuch, komplexe Zahlen dadurch nachzuweisen, daß die Bedeutung der Multiplikation in besonderer Weise erweitert wird

101 Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig

102 Die bloße Forderung, es solle eine Operation ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung

103 Kossaks Erklärung der komplexen Zahlen ist nur eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung

104 Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungsurteils für die neuen Zahlen festzusetzen

105 Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter

106--109 Rückblick
Band 8425

Die Grundlagen der Arithmetik

Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl

Buch (Taschenbuch)

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Die Grundlagen der Arithmetik

Ebenfalls verfügbar als:

Taschenbuch

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eBook

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Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1986

Herausgeber

Joachim Schulte

Verlag

Reclam, Philipp

Seitenzahl

160

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

01.01.1986

Herausgeber

Joachim Schulte

Verlag

Reclam, Philipp

Seitenzahl

160

Maße (L/B/H)

14,8/9,5/0,8 cm

Gewicht

81 g

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-15-008425-0

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Was ist die Zahl?

Zitronenblau am 23.05.2009

Bewertungsnummer: 603541

Bewertet: Buch (Taschenbuch)

Freges logizistische Programmatik war die Herleitung der Zahl a priori. Und von diesen erstem Beweis ausgehend wollte er die gesamte Mathematik analytisch beweisen. Leider scheiterte er. Aber was ist sein Verdienst? Er gab uns die wohl beste Erklärung zur Zahl an sich und ferner entwickelte er bahnbrechende sprachlogische sowie sprachphilosophische Erkenntnisse, die für die heutige analytische Philosophie unabdingbar sind! Seine Verehrer: Husserl, Russell und Wittgenstein. Dieses Buch gehört zum Standardrepertoire eines jeden Menschen, der lesen und rechnen kann!
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Was ist die Zahl?

Zitronenblau am 23.05.2009
Bewertungsnummer: 603541
Bewertet: Buch (Taschenbuch)

Freges logizistische Programmatik war die Herleitung der Zahl a priori. Und von diesen erstem Beweis ausgehend wollte er die gesamte Mathematik analytisch beweisen. Leider scheiterte er. Aber was ist sein Verdienst? Er gab uns die wohl beste Erklärung zur Zahl an sich und ferner entwickelte er bahnbrechende sprachlogische sowie sprachphilosophische Erkenntnisse, die für die heutige analytische Philosophie unabdingbar sind! Seine Verehrer: Husserl, Russell und Wittgenstein. Dieses Buch gehört zum Standardrepertoire eines jeden Menschen, der lesen und rechnen kann!

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Die Grundlagen der Arithmetik

von Gottlob Frege

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  • Die Grundlagen der Arithmetik

  • 1 In der Mathematik ist in neuererZeitein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar

    2 Die Prüfung muß sich schließlich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises

    3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, a priori oder a posteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke

    4 Die Aufgabe dieses Buches

    I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze
    Sind die Zahlformeln beweisbar?

    5 Kant verneint dies, was Hanke! mit Recht paradoxnennt

    6 Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Graßmanns Definition von a + b ist fehlerhaft

    7 Mills Meinung, daß die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Tatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet

    8 Zur Rechtmäßigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Tatsachen nicht erforderlich

    Sind die Gesetze der Arithmetik induktive Wahrheiten?

    9 Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen

    10 Gründe dagegen, daß die Additionsgesetze induktive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induktion ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen

    11 Leibnizens »Eingeboren«.

    Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?

    12 Kant. Baumann. Lipschitz. Hanke!. Die innere Anschauung als Erkenntnisgrund

    13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie

    14 Vergleichung der Wahrheiten in bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet

    15 Ansichten von Leibniz und St. Jevons

    16 Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache«Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten

    17 Unzulänglichkeit der Induktion. Vermutung, daß die Zahlgesetze analytische Urteile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Wertschätzung der analytischen Urteile

    II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl

    18 Notwendigkeit, den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen

    19 Die Definition darf nicht geometrisch sein

    20 Ist die Zahl definierbar? Hankel. Leibniz

    Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern Dinge?

    21 Meinungen von M. Cantorund E. Sehröder

    22 Dagegen Baumann: die äußern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab

    23 Mills Meinung, daß die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar

    24 Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden

    25 Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen

    Ist die Zahl etwas Subjektives?

    26 Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung paßt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objektives

    27 Die Zahl ist nicht, wie Schlömilch will, Vorstellung der Stelle eines Objekts in einer Reihe

    Die Anzahl als Menge

    28 Thomaes Namengebung

    III. Meinungen über Einheit und Eins
    Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?

    29 Vieldeutigkeit der Ausdrücke und »Einheitv. E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjektiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Prädikat dienen

    30 Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen

    31 Baumanns Merkmale der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objekte zugeführt (Locke)

    32 Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird

    33 Die Unteilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar

    Sind die Einheiten einander gleich?

    34 Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit«. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraktion von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich

    35 Die Verschiedenheit ist sogar notwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons

    36 Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stößt auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons

    37 Lackes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins

    38 »Eins«ist Eigenname, »Einheit«Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definiert werden. Unterschied von »und<< und+

    39 Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von »Einheit« verdeckt Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden

    40 Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons

    41 Der Zweck wird nicht erreicht

    42 Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens. Hankels Setzen

    43 Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1

    44 Jevons' Abstrahieren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen

    Lösung der Schwierigkeit

    45 Rückblick

    46 Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, daß bei unverändertem Begriffe die Zahl sich ändere

    47 Die Tatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objektivität des Begriffes

    48 Auflösung einiger Schwierigkeiten

    49 Bestätigung bei Spinoza

    50 E. Schröders Ausführung

    51 Berichtigung derselben

    52 Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche

    53 Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl

    54 Einheit kann man das Subjekt einer Zahlangabe nennen. Unteilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit

    IV. Der Begriff der Anzahl
    Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand

    55 Versuch, die Leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen .

    56 Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Teil ist

    57 Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen

    58 Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar

    59 Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschließen, weil er unvorstellbar ist

    60 Selbst konkrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muß die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt .

    61 Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objektive Gegenstand ist räumlich

    Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muß man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen

    62 Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit

    63 Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, daß die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird .

    64 Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks

    65 Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird

    66 Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend

    67 Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, daß man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist .

    68 Die Anzahl als Umfang eines Begriffes

    69 Erläuterung

    Ergänzung und Bewährung unserer Definition

    70 Der Beziehungsbegriff

    71 Die Zuordnung durch eine Beziehung

    72 Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl

    73 Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung gibt, welche die unter F fallenden Gegenstände den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet

    74 Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich«zukommt

    75 Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist

    76 Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der natürlichenZahlenreihe unmittelbar auf m«

    77 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0«zukommt

    78 Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisensind.

    79 Definition des Folgens in einer Reihe

    80 Bemerkungen hierzu. Objektivität des Folgens

    81 Erklärung des Ausdrucks »X gehört der mit y endenden cp-Reihe an"

    82 Andeutung des Beweises, daß es kein letztes Glied der natürlichen Zahlenreihe gibt

    83 Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber

    Unendliche Anzahlen

    84 Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl « zukommt, ist eine unendliche

    85 Die Cantarsehen unendlichen Anzahlen; »Mächtigkeit«. Abweichung in der Benennung

    86 Cantars Folgen in der Sukzession und mein Folgen in der Reihe

    V. Schluß

    87 Die Natur der arithmetischen Gesetze

    88 Kants Unterschätzung der analytischen Urteile

    89 Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden«Kants Verdienst um die Mathematik

    90 Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlußkette

    91 Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich

    Andere Zahlen

    92 Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hanke!

    93 Die Zahlen sind weder räumlich außer uns noch subjektiv

    94 Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verInhalt bürgt nicht, daß etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des Beweises

    95 Man darf nicht ohne weiteres ( c-b) als ein Zeichen ansehn, das die Subtraktionsaufgabe löst

    96 Auch der Mathematiker kann nicht willkürlich etwas schaffen

    97 Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden.

    98 Hankels Erklärung der Addition

    99 Mangelhaftigkeit der formalen Theorie

    100 Versuch, komplexe Zahlen dadurch nachzuweisen, daß die Bedeutung der Multiplikation in besonderer Weise erweitert wird

    101 Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig

    102 Die bloße Forderung, es solle eine Operation ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung

    103 Kossaks Erklärung der komplexen Zahlen ist nur eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung

    104 Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungsurteils für die neuen Zahlen festzusetzen

    105 Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter

    106--109 Rückblick