Nützliche und schöne Geometrie

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis


Vorwort


Teil I: Grundlegendes


Kapitel 1: Aller Anfang ist einfach


1.1 Standardbezeichnungen im Dreieck


1.2 Der Umfang und die Fläche eines Kreises


1.3 Die Eselsbrücke (Basiswinkelsatz)


1.4 Existenz von Rechtecken


1.5 Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck


1.6 Winkelsumme im allgemeinen Dreieck und Viereck


1.7 Die Messung des Erdumfangs durch Eratosthenes


1.8 Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen


1.9 Winkel im allgemeinen Fünfstern


1.10 Satz über die Diagonalen im Rechteck


1.11 Der Thaleskreis


1.12 Fläche von Rechteck und Dreieck


1.13 Ähnliche Dreiecke


1.14 Die Strahlensätze


1.15 Satz über die Winkelhalbierende im Dreieck


1.16 Ein Quadrat im Dreieck


1.17 Der Satz von Menelaos


1.18 Der Satz von Ceva


Kapitel 2: Rund um den Satz des Pythagoras


2.1 Der Satz des Pythagoras


2.2 Der Kathetensatz des Euklid


2.3 Der Höhensatz des Euklid


2.4 Drei weitere Beweise für den Satz des Pythagoras


2.5 Andere Herleitung der Satzgruppe des Pythagoras


2.6 Die Möndchen des Hippokrates


2.7 Das umgeklappte Hypotenusenquadrat


2.8 Der Satz von Eddy


2.9 Mittelwerte


2.10 Die Heronsche Formel


Kapitel 3: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Anwendungen


3.1 Die Definition der trigonometrischen Funktionen


3.2 Historische Anmerkung zu den trigonometrischen Funktionen


3.3 Die Umkehrfunktionen


3.4 Kreise durch zwei Punkte und der Mittelpunkt des Umkreises


3.5 Der Peripherie- und Zentriwinkelsatz


3.6 Der allgemeine Zentriwinkelsatz


3.7 Der Sinussatz


3.8 Ungleichung zwischen den Winkeln und den Seiten eines Dreiecks


3.9 Anwendung auf die Fläche eines Dreiecks


3.10 Der Kosinussatz


3.11 Eine Navigationsaufgabe mit überraschender Lösung


3.12 Die Grundaufgaben der Dreiecksberechnung


Teil II: Schöne Dreieckssätze


Kapitel 4: Ausgezeichnete Geraden und Punkte beim Dreieck


4.1 Kreise an die Schenkel eines Winkels und der Inkreis


4.2 Ergänzung zum Satz über die Winkelhalbierenden


4.3 Die Seitenhalbierenden und der Schwerpunkt eines Dreiecks


4.4 Der Schnittpunkt der Höhen


4.5 Die Euler-Gerade


4.6 Das Mitten-Parallelogramm im Viereck (Satz von Varignon)


4.7 Der Achtpunktekreis in Vierecken mit senkrechten Diagonalen


4.8 Der Neunpunktekreis (Feuerbach-Kreis)


4.9 Der Satz von Feuerbach


Kapitel 5: Von Dreiecken und Quadraten


5.1 Zwei sich berührende Quadrate


5.2 Jenseits von Pythagoras


5.3 Der Satz von van Aubel
5.4 Der Satz von Vecten

Kapitel 6: Dreiecke über Dreiecke


6.1 Napoleon-Dreiecke


6.2 Der Satz von Escher


6.3 Der Fermatsche Punkt im Dreieck


6.4 Das gleichseitige Dreieck und der Satz von Viviani


6.5 Der Satz von van Schooten
6.6 Die Ungleichung von Erdös und Mordell

Teil III: Von Vierecken und Kreisen


Kapitel 7: Vierecke


7.1 Die Newtonsche Gerade


7.2 Pflasterungen mit allgemeinen Vierecken


7.3 Sehnenvierecke


7.4 Die Formel von Brahmagupta
7.5 Der Satz von Brahmagupta

7.6 Der Satz von Ptolemäus


7.7 Rechtecke über einem Sehnenviereck


7.8 Tangentenvierecke


7.9 Sehnentangentenvierecke


Kapitel 8: Kreissätze


8.1 Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises
8.2 Der Schmetterlingssatz

8.3 Das Malfatti-Problem


8.4 Kurven mit konstanter Breite


8.5 Gotisches Maßwerk


Kapitel 9: Rund um Schustermesser und Salzfass des Archimedes


9.1 Der Arbelos (das Schustermesser)


9.2 Die Zwillingskreise des Archimedes
9.3 Der Salinon (das Salzfass)

9.4 Die Verallgemeinerung des Arbelos und des Salinons des Archimedes


Schlusswort


Lösungen ausgewählter Aufgaben


Literaturverzeichnis


Index


Nützliche und schöne Geometrie

Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie

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eBook

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ab 19,99 €

Beschreibung

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

02.11.2021

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

180

Maße (L/B/H)

23,1/15,1/0,9 cm

Beschreibung

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

02.11.2021

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

180

Maße (L/B/H)

23,1/15,1/0,9 cm

Gewicht

384 g

Auflage

2. korrig. und ergänzte Auflage 2021

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-662-63830-9

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    Kapitel 1: Aller Anfang ist einfach


    1.1 Standardbezeichnungen im Dreieck


    1.2 Der Umfang und die Fläche eines Kreises


    1.3 Die Eselsbrücke (Basiswinkelsatz)


    1.4 Existenz von Rechtecken


    1.5 Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck


    1.6 Winkelsumme im allgemeinen Dreieck und Viereck


    1.7 Die Messung des Erdumfangs durch Eratosthenes


    1.8 Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen


    1.9 Winkel im allgemeinen Fünfstern


    1.10 Satz über die Diagonalen im Rechteck


    1.11 Der Thaleskreis


    1.12 Fläche von Rechteck und Dreieck


    1.13 Ähnliche Dreiecke


    1.14 Die Strahlensätze


    1.15 Satz über die Winkelhalbierende im Dreieck


    1.16 Ein Quadrat im Dreieck


    1.17 Der Satz von Menelaos


    1.18 Der Satz von Ceva


    Kapitel 2: Rund um den Satz des Pythagoras


    2.1 Der Satz des Pythagoras


    2.2 Der Kathetensatz des Euklid


    2.3 Der Höhensatz des Euklid


    2.4 Drei weitere Beweise für den Satz des Pythagoras


    2.5 Andere Herleitung der Satzgruppe des Pythagoras


    2.6 Die Möndchen des Hippokrates


    2.7 Das umgeklappte Hypotenusenquadrat


    2.8 Der Satz von Eddy


    2.9 Mittelwerte


    2.10 Die Heronsche Formel


    Kapitel 3: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Anwendungen


    3.1 Die Definition der trigonometrischen Funktionen


    3.2 Historische Anmerkung zu den trigonometrischen Funktionen


    3.3 Die Umkehrfunktionen


    3.4 Kreise durch zwei Punkte und der Mittelpunkt des Umkreises


    3.5 Der Peripherie- und Zentriwinkelsatz


    3.6 Der allgemeine Zentriwinkelsatz


    3.7 Der Sinussatz


    3.8 Ungleichung zwischen den Winkeln und den Seiten eines Dreiecks


    3.9 Anwendung auf die Fläche eines Dreiecks


    3.10 Der Kosinussatz


    3.11 Eine Navigationsaufgabe mit überraschender Lösung


    3.12 Die Grundaufgaben der Dreiecksberechnung


    Teil II: Schöne Dreieckssätze


    Kapitel 4: Ausgezeichnete Geraden und Punkte beim Dreieck


    4.1 Kreise an die Schenkel eines Winkels und der Inkreis


    4.2 Ergänzung zum Satz über die Winkelhalbierenden


    4.3 Die Seitenhalbierenden und der Schwerpunkt eines Dreiecks


    4.4 Der Schnittpunkt der Höhen


    4.5 Die Euler-Gerade


    4.6 Das Mitten-Parallelogramm im Viereck (Satz von Varignon)


    4.7 Der Achtpunktekreis in Vierecken mit senkrechten Diagonalen


    4.8 Der Neunpunktekreis (Feuerbach-Kreis)


    4.9 Der Satz von Feuerbach


    Kapitel 5: Von Dreiecken und Quadraten


    5.1 Zwei sich berührende Quadrate


    5.2 Jenseits von Pythagoras


    5.3 Der Satz von van Aubel
    5.4 Der Satz von Vecten

    Kapitel 6: Dreiecke über Dreiecke


    6.1 Napoleon-Dreiecke


    6.2 Der Satz von Escher


    6.3 Der Fermatsche Punkt im Dreieck


    6.4 Das gleichseitige Dreieck und der Satz von Viviani


    6.5 Der Satz von van Schooten
    6.6 Die Ungleichung von Erdös und Mordell

    Teil III: Von Vierecken und Kreisen


    Kapitel 7: Vierecke


    7.1 Die Newtonsche Gerade


    7.2 Pflasterungen mit allgemeinen Vierecken


    7.3 Sehnenvierecke


    7.4 Die Formel von Brahmagupta
    7.5 Der Satz von Brahmagupta

    7.6 Der Satz von Ptolemäus


    7.7 Rechtecke über einem Sehnenviereck


    7.8 Tangentenvierecke


    7.9 Sehnentangentenvierecke


    Kapitel 8: Kreissätze


    8.1 Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises
    8.2 Der Schmetterlingssatz

    8.3 Das Malfatti-Problem


    8.4 Kurven mit konstanter Breite


    8.5 Gotisches Maßwerk


    Kapitel 9: Rund um Schustermesser und Salzfass des Archimedes


    9.1 Der Arbelos (das Schustermesser)


    9.2 Die Zwillingskreise des Archimedes
    9.3 Der Salinon (das Salzfass)

    9.4 Die Verallgemeinerung des Arbelos und des Salinons des Archimedes


    Schlusswort


    Lösungen ausgewählter Aufgaben


    Literaturverzeichnis


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