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Methoden der Mathematischen Physik II

64,99 €

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Beschreibung

Produktdetails

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

03.01.1968

Abbildungen

XVI, mit 13 Abbildungen

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

549

Maße (L/B/H)

21,6/14/3,1 cm

Gewicht

710 g

Auflage

2. Auflage 1968

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-540-04178-8

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Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

03.01.1968

Abbildungen

XVI, mit 13 Abbildungen

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

549

Maße (L/B/H)

21,6/14/3,1 cm

Gewicht

710 g

Auflage

2. Auflage 1968

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-540-04178-8

Herstelleradresse

Springer-Verlag KG
Sachsenplatz 4-6
1201 Wien
AT

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  • Erstes Kapitel Vorbereitung. — Grundbegriffe.-
    1. Orientierung über die Mannigfaltigkeit der Lösungen.- 1. Beispiele.- 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien.-
    2. Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Problem der Äquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen.- 2. Bestimmte, überbestimmte, unterbestimmte Systeme.-
    3. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen.- 1. Separation der Variablen.- 2. Erzeugung weiterer Lösungen durch Superposition. Grundlösung der Wärmeleitung. Poissons Integral.-
    4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das vollständige Integral.- 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Das vollständige Integral.- 3. Singuläre Integrale.-
    5. Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.-
    6. Die Legendresche Transformation.- 1. Legendresche Transformation für Funktionen von zwei Veränderlichen.- 2. Die Legendresche Transformation für Funktionen von n Variablen.- 3. Anwendung der Legendreschen Transformation auf partielle Differentialgleichungen.-
    7. Die Bestimmung der Lösungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz.- 1. Formulierung und Erläuterung des Anfangswertproblems.- 2. Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen.- 3. Die Bestimmung der Ableitungen längs der Anfangsmannigfaltigkeit.- 4. Existenzbeweis analytischer Lösungen von analytischen Differentialgleichungen.- Anhang zum ersten Kapitel.-
    1. Die Differentialgleichung für die Stützfunktion einer Minimalfläche.-
    2. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung.-
    3. Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung.-
    4. Darstellung der flächentreuen Abbildungen.- Zweites Kapitel Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.-
    1. Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Beispiele.-
    2. Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhängigen Veränderlichen.-
    3. Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven und Fokalkurven.- 2. Lösung des Anfangswertproblems.- 3. Charakteristiken als Verzweigungselemente. Ergänzende Bemerkungen. Integralkonoid.-
    4. Zusammenhang mit der Theorie des vollständigen Integrals.-
    5. Fokalkurven und Mongesche Gleichung.-
    6. Beispiele.- 1. Die Differentialgleichung (grad u) 2 = 1.- 2. Zweites Beispiel.- 3. Die Differentialgleichung von Clairaut.- 4. Die Differentialgleichung der Röhrenflächen.-
    7. Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhängigen Veränderlichen.-
    8. Vollständiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie.- 1. Enveloppenbildung und charakteristische Kurven.- 2. Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen.- 3. Hamilton-Jacobische Theorie.- 4. Beispiel. Zweikörperproblem.- 5. Beispiel. Geodätische Linien auf einem Ellipsoid.-
    9. Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung.- 1. Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form.- 2. Der geodätische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung.- 3. Bemerkungen über den Fall homogener Integranden.- 4. Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung.- 5. Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion.- 6. Hilberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals.- 7. Der Satz von HAMILTON und JAGoBI.-
    10. Kanonische Transformationen und Anwendungen.- 1. Die kanonische Transformation.- 2. Neuer Beweis des Hamilton- Jacobischen Satzes.- 3. Variation der Konstanten (kanonische Störungstheorie).- Anhang zum zweiten Kapitel.-
    1. Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten.- 1. Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen.- 2. Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten.-
    2. Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie.- Literatur zum ersten und zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen.-
    1. Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrücken zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen.- 2. Beispiele.-
    2. Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen.- 1. Normalformen.- 2. Beispiel. Minimalflächen.-
    3. Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.- 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.-
    4. Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 2. Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen.- 3. Bemerkungen über nichtlineare Probleme.-
    5. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 1. Allgemeines.- 2. Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion.- 3. Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln.- 4. Zylinder- und Kugelwellen.-
    6. Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme.- 1. Anfangswertprobleme der Wärmeleitung. Transformation der 6-Funktion.- 2. Anfangswertprobleme der Wellengleichung.- 3. Methode des Fourierschen Integrals zur Lösung von Anfangswertproblemen.- 4. Lösung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale.- 5. Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode.- 6. Das Ausstrallungsproblem.- 7. Ausbreitungsvorgänge und Huyghenssches Prinzip.-
    7. Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen.- 2. Grundsätzliche Betrachtungen.- Anhang zum dritten Kapitel.- Ausgleichsprobleme ulid Heavisides Operatorenkalkül.-
    1. Ausgleichsprobleme und Lösung mittels Integraldarstellungen.- 1. Beispiel. Wellengleichung.- 2. Allgemeine Problemstellung.- 3. Integral von Duhamel.- 4. Methode der Superposition von Exponentiallösungen.-
    2. Die Heavisidesche Operatorenmethode.- 1. Die einfachsten Operatoren.- 2. Beispiele.- 3. Anwendungen auf Ausgleichsprobleme.- 4. Wellengleichung.- 5. Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalküls. Realisierung weiterer Operatoren.-
    3. Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme.- 1. Die Transformation von Laplace.- 2. Lösung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation.- 3. Beispiele.- Literatur zum Anhang des dritten Kapitels.- Viertes Kapitel Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie.-
    1. Vorbemerkungen.- 1. Die Differentialgleichungen von Laplace, Poisson und verwandte Differentialgleichungen.- 2. Potentiale von Massenbelegungen.- 3. Greensche Formeln und Anwendungen.- 4. Die Ableitungen der Belegungspotentiale.-
    2. Poissons Integral und Folgerungen..- 1. Randwertaufgabe und Greensche Funktion.- 2. Greensche Funktion für Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral für Kugel und Halbraum.- 3. Folgerungen aus der Poissonschen Formel.-
    3. Der Mittelwertsatz und Anwendungen.- 1. Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung.- 2. Umkehrung der Mittelwertsätze.- 3. Die Poissonsche Gleichung für Potentiale von Raumbelegungen.- 4. Mittelwertsätze für andere elliptische Differentialgleichungen.-
    4. Die Randwertaufgabe.- 1. Vorbemerkungen. Stetige Abhängigkeit von den Randwerten und vom Gebiet.- 2. Lösung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens.- 3. Die Integralgleichungsmethode für Gebiete mit hinreichend glatten Rändern.- 4. Weitere Bemerkungen zur Randwertaufgabe.-
    5. Randwertaufgaben für allgemeinere elliptische Differentialgleichungen; eindeutige Bestimmtheit der Lösungen.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- 3. Ein Satz von Rellich über die Differentialgleichung von Monge-Ampère.-
    6. Die Integralgleichungsmethode zur Lösung elliptischer Differentialgleichungen.- 1. Konstruktion von Lösungen überhaupt. Grundlösungen.- 2. Die Randwertaufgabe.- Anhang zum vierten Kapitel.- 1. Verallgemeinerung der Randwertaufgabe. Sätze von Wiener.- 2. Nichtlineare Differentialgleichungen.- Lehrbuchliteratur zum vierten Kapitel.- Fünftes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.-
    1. Die Charakteristiken bei quasilinearen Differentialgleichungen.- 1. Definition der Charakteristiken.- 2. Charakteristiken auf Integralflächen.- 3. Charakteristiken als Unstetigkeitslinien. Wellenfronten.-
    2. Charakteristiken für allgemeine Differentialgleichungsprobleme.- 1. Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 3. Systeme von Differentialgleichungen.- 4. Invarianz der Charakteristiken gegenüber beliebigen Punkttransformationen.- 5. Beispiele aus der Hydrodynamik.-
    3. Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet.- 1. Grundsätzliches über Ausbreitungsvorgänge.- 2. Eindeutigkeitsbeweise.-
    4. Die Riemannsche Integrationsmethode.- 1. Riemanns Darstellungsformel.- 2. Ergänzende Bemerkungen.- 3. Beispiel, Telegraphengleichung.-
    5. Die Lösungen der Differentialgleichung uxy = f (x, y, u, ux, uy) nach dem Picardschen Iterationsverfahren.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Lösung der Anfangswertprobleme.- 3. Eindeutige Bestimmtheit der Lösung.- 4. Stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern.- 5. Das Abhängigkeitsgebiet der Lösung.-
    6. Verallgemeinerungen und Anwendung auf Systeme erster Ordnung.- 1. Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichem linearen Hauptteil.- 2. Kanonisch-hyperbolische Systeme erster Ordnung.-
    7. Die allgemeine quasilineare Gleichung zweiter Ordnung.- 1. Das vollständige System der charakteristischen Differentialgleichungen.- 2. Lösung des Anfangswertproblems.-
    8. Die allgemeine Gleichung F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0.- 1. Quasilineare Systeme mit gleichem Hauptteil.- 2. Lösung des Anfangswertproblems im allgemeinen Fall.- Anhang zum fünften Kapitel.-
    1. Einführung komplexer Größen. Übergang vom hyperbolischen zum elliptischen Fall durch komplexe Variable.-
    2. Der analytische Charakter der Lösungen im elliptischen Fall.- 1. Funktionentheoretische Vorbemerkung.- 2. Analytischer Charakter der Lösungen von ? u = f (x, y, u, p, q).- 3. Bemerkung über den allgemeinen Fall.-
    3. Weitere Bemerkungen zur Charakteristikentheorie bei zwei Veränderlichen.-
    4. Sonderstellung der Monge-Ampèreschen Gleichungen.- Sechstes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.-
    1. Die charakteristische Gleichung.- 1. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Lineare Differentialgleichungen. Charakteristische Strahlen.-
    2. Charakteristische Mannigfaltigkeiten als Unstetigkeitsflächen von Lösungen. — Wellenfronten.- 1. Unstetigkeiten zweiter Ordnung.- 2. Wellenfronten bei linearen Differentialgleichungen als Träger höherer Unstetigkeiten.- 3. Die Differentialgleichung längs einer charakteristischen Mannigfaltigkeit. Ausbreitung der Unstetigkeiten längs der Strahlen.- 4. Physikalische Deutung. Schattengrenzen S.- 5. Strahlenkonoid. Zusammenhang mit der Riemannschen Maßbestimmung.- 6. Die Huygensche Konstruktion der Wellenfronten. Strahlenkegel und Richtungsausbreitung.- 7. Strahlen- und Normalenkegel.- 8. Beispiel. Die Poissonsche Wellengleichung in drei Raumdimensionen.-
    3. Charakteristiken bei Problemen höherer Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 2. Systeme von Differentialgleichungen. Hydrodynamik.- 3. Weitere Systeme. Krystalloptik.-
    4. Eindeutigkeitssätze und Abhängigkeitsgebiet bei Anfangswertproblemen.- 1. Die Wellengleichung.- 2. Die Differentialgleichung
    % MathType!MTEF!2!1!+-
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    % iDaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaaaa!43EB!

    $$ {u_{tt}} - \Delta u + \frac{\lambda }{t}{u_t} = 0 $$

    (Darboux).- 3. Maxwellsche Gleichungen t im Äther.- 4. Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet bei den Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 5. Bemerkungen über Abhängigkeits- und Wirkungsgebiete. Notwendigkeit des konvexen Charakters von Abhängigkeitsgebieten.-
    5. Hyperbolische lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Konstruktion der Lösung.- 2. Bemerkungen über die Absteigemethode.- 3. Nähere Diskussion der Lösungen. Prinzip von Huyghens.- 4. Verifikation der Lösung.- 5. Integration der unhomogenen Gleichung.- 6. Das Ausstrahlungsproblem.- 7. Das Anfangswertproblem für die Gleichung ? u + c2u = utt und für die Telegraphengleichung.-
    6. Mittelwertmethode Wellengleichung und Gleichung von Darboux.- 1. Die Darbouxsche Differentialgleichung für Mittelwerte.- 2. Zusammenhang mit der Wellengleichung und Auflösung der Wellengleichung.- 3. Das Ausstrahlungsproblem der Wellengleichung.- 4. Ein Satz von Friedrichs.-
    7. Ultrahyperbolische Differentialgleichungen und allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Der allgemeine Mittelwertsatz von Asgeirsson.- 2. Anderer Beweis des Mittelwertsatzes.- 3. Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Wellengleichung.- 4. Lösungen des charakteristischen Anfangswertproblems der Wellengleichung.- 5. Andere Anwendungen des Mittelwertsatzes.-
    8. Betrachtungen über nichthyperbolische Anfangswertprobleme.- 1. Bestimmung einer Funktion aus gewissen Kugelmittelwerten.- 2. Anwendungen auf das Anfangswertproblem.-
    9. Die Methode von Hadamard zur Lösung des Anfangswertproblems.- 1. Vorbemerkungen. Grundlösung. Allgemeine Methode.- 2. Die allgemeine Wellengleichung in m = 2 Raumdimensionen.- 3. Die verallgemeinerte Wellengleichung in m = 3 Raumdimensionen.-
    10. Bemerkungen über den Wellenbegriff und das Ausstrahlungsproblem.- 1. Allgemeines. Verzerrungsfreie fortschreitende Wellen.- 2. Sphärische Wellen.- 3. Ausstrahlung und Huygenssches Prinzip.- Anhang zum sechsten Kapitel.-
    1. Die Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 1. Normalen- und Strahlenfläche der Krystalloptik.- 2. Gestalt der Normalenfläche.- 3. Die Strahlenfläche.- 4. Reduktion des Differentialgleichungssystems auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung bzw. vierter Ordnung.- 5. Explizite Lösung durch die Fouriersche Methode.- 6. Diskussion des lösenden Kernes K.- 7. Optische Anwendung. Konische Refraktion.-
    2. Abhängigkeitsgebiete bei Problemen höherer Ordnung.-
    3. Huyghens Prinzip im weiteren Sinne und fortsetzbare Anfangsbedingungen.-
    4. Ersetzung von Differentialgleichungen durch Integralrelationen. Erweiterung des Charakteristikenbegriffes.- Siebentes Kapitel Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung.-
    1. Vorbereitungen.- 1. Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis.- 2. Allgemeine Problemstellungen.- 3. Lineare Funktionenräume mit quadratischer Metrik. Definitionen.- 4. Randbedingungen.-
    2. Die erste Randwertaufgabe.- 1. Problemstellung.- 2. Greensche Formel. Hauptungleichung zwischen D und H. Eindeutigkeit.- 3. Minimalfolgen und Lösung des Randwertproblems.-
    3. Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten.- 1. Integralungleichungen.- 2. Das erste Eigenwertproblem.- 3. Höhere Eigenwerte und -funktionen. Vollständigkeit.-
    4. Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen.-
    5. Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H.- 1. Konstruktion der Grenzfunktionen.- 2. Konvergenzeigenschaften der Integrale D und H.-
    6. Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe.- 1. Greensche Formel und Randbedingungen.- 2. Formulierung des Randwertproblems und Variationsproblems.- 3. Einschränkung der Klasse zulässiger Gebiete.- 4. Äquivalenz von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit.- 5. Lösung des Variationsproblems und Randwertproblems.-
    7. Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung.-
    8. Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete.- 1. Gebiete vom Typus N.- 2. Notwendigkeit von einschränkenden Bedingungen für das Gebiet.-
    9. Ergänzungen und Aufgaben.- 1. Die Greensche Funktion von ? u.- 2. Dipolsingularität.- 3. Randverhalten bei ? u = 0 und zwei unabhängigen Veränderlichen für die zweite Randbedingung.- 4. Stetige Abhängigkeit vom Gebiet.- 5. Übertragung der Theorie auf unendlich ausgedehnte Gebiete G.- 6. Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation und Schwingungen von Platten.- 7. Erste Randwert- und Eigenwertaufgabe der Elastizitätstheorie bei zwei Dimensionen.- 8. Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion.-
    10. Das Problem von Plateau.- 1. Problemstellung und Ansatz zur Lösung.- 2. Beweis der Variationsrelationen.- 3. Existenz der Lösung des Variationsproblems.- Ergänzende Literaturangaben.- Namen- und Sachverzeichnis.- Kurzbiographien.